Программа экзамена по курсу «Основы математического анализа», ЭКТ-1 2-й семестр 2009/2010 уч. год

.

 

Неопределенный интеграл.

1. Первообразная, ее свойства. Неопределенный  интеграл.

2. Таблица неопределенных  интегралов.

3. Замена переменной в неопределенном интеграле.

4. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

5. Интегрирование рациональных дробей, иррациональностей, тригонометрических выражений (уметь вычислять интегралы).

Определенный интеграл.

1. Задача о площади. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

2. Необходимое условие интегрируемости. Пример ограниченной неинтегрируемой  функции.

3. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, сохранение неравенства).

4. Свойства интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.

5. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

7. Суммы Дарбу, их свойства. Нижний и верхний интегралы Дарбу.

8. Критерий интегрируемости ограниченной функции. Интегрируемость непрерывной функции.

9. Теорема о среднем для определенного интеграла.

10. Понятие несобственного интеграла с единственной особенностью. Примеры.

11. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения.

13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Примеры.

14. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

15. Длина дуги кривой.

16. Объем тела вращения.

17. Площадь поверхности тела вращения.

Функции многих переменных.

1.      Пространство Rn. Понятие сходимости последовательности в Rn. Связь сходимости в Rnс покоординатной сходимостью. Свойства сходящихся последовательностей. Фундаментальные последовательности и их связь со сходящимися последовательностями.

2.      Понятия окрестности точки, открытого, связного множества и области в Rn.

3.      Предел и непрерывность функции многих переменных. Определения. Свойства (арифметические, сохранение знака). Непрерывность сложной функции.

4.      Частные производные. Теорема о смешанных производных (без док-ва).

5.      Понятие дифференцируемости функций многих переменных. Дифференциал. Необходимое условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.

6.      Применение первого дифференциала в приближенных вычислениях.

7.      Дифференцирование сложной функции.

8.      Градиент и производная по направлению. Геометрический и физический смысл градиента.

9.      Дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

10.  Формула Тейлора для функции многих переменных.

11.  Ограниченные последовательности в Rn. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

12.  Понятие замкнутого множества.

13.  Непрерывность функции в точке (по множеству). Свойства функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

14.  Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия. Стационарные точки. Достаточные условия (представление приращения функции в стационарной точке через дифференциал 2-го порядка и достаточные условия на языке квадратичных форм и через угловые миноры матрицы Гессе).

15.  Неявные функции. Теорема существования (без доказательства). Производная неявной функции.

16.    Касательная плоскость и нормаль к поверхности заданной явным или неявным уравнением.


Ссылка на основную публикацию